2.1.4 双曲线及其标准方程 一、教学目标： 1.知识与技能目标： （1）理解双曲线的定义 （2）能根据已知条件求双曲线的标准方程 （3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法 2．过程与方法目标： （1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 （2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。 （3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。 3.情感态度价值观目标： （1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。 （2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。 （3）养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 二、教学重点.难点 重点：了解双曲线的定义 难点：双曲线标准方程推导过程中的化简 三、学情分析 学生已熟悉和掌握椭圆的有关内容，有亲历体验发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作、归纳猜想和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现归纳数学知识。使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 四、教学过程 新课引入 用Flash动画演示，平面从竖直方向由上往下截圆锥体，得到两只双曲线，这种曲线就是本课要研究的对象———双曲线。 五、自主学习 一、复习准备： 1._____叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 2.焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 . 3.焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 . 4.在椭圆的标准方程中分母的大小反映了焦点所在的坐标轴,并且a2、b2、c2之间的关系是 .? 二、讲授新课： 1. 问题提出 若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差”,这时轨迹又是什么? 演示几个问题： (1)轨迹叫什么曲线？(2)其中|MF1|与|MF2|哪个大？ (3)点M与F1，F2的距离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？ (4)如何统一两距离之差？ 双曲线及标准方程 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数2a (小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。两定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 2.正确理解双曲线定义 （1）定义中“小于|F1F2|”这一限制条件十分重要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”.若2a=2c时，此时动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；若2a>2c时，动点轨迹不存在. （2）距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支.若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF2|-|PF1|=2a，则点P在左支上.若点P′满足|P′F1|-|P′F2|=2a，则点P′在右支上，双曲线上的点满足集合P={M|MF1|-|MF2|=2a}. （3）若2a=2c,且|PF1|-|PF2|=2a(F1、F2为双曲线左、右焦点)，则点P在右边的射线上，若|PF2|-|PF1|=2a,则点P在左边的射线上. 3.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种不同类型：,(a>0,b>0),分别表示焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线. （1）标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2，与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0)相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小则不确定. （2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上. （3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式. 4.求双曲线的标准方程 如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称， ... ...
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