§3.4基本不等式 【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程； 【教学难点】 基本不等式等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。 2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以，，即 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得， 通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x、y都是正数，求证： (1)≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)＝2即≥2. (2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2＞0 b＋c≥2＞0 c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤ ... ...
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