6.1.5向量的线性运算 同步练习（2份）

课堂检测·素养达标 1.已知a=e1+2e2,b=3e1-2e2,则3a-b= (　　) A.4e2 B.4e1 C.3e1+6e2 D.8e2 【解析】选D.3a-b=3(e1+2e2)-(3e1-2e2) =3e1+6e2-3e1+2e2=8e2. 2. 等于 (　　) A.a-b+2c B.5a-b+2c C.a+b+2c D.5a+b 【解析】选A. =(3a-2a)+ +(c+c)=a-b+2c. 3.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于(　　) A.a+b　　　　　 B.a+b C.(a+b) D.a+b 【解析】选C.+=+==2,所以=(a+b). 4.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=_____,y=_____.? 【解析】由已知得解得x=y=. 答案:　 课时素养评价 二十七 　向量的线性运算 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分) 1.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则= (　　) A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,) 【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),过点P分别作BC,AB的平行线,设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1). 2.(多选题)如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中不成立的是 (　　) A.r=-p+q　　　　 B.r=-p+2q C.r=p-q D.r=-q+2p 【解析】选B、C、D.因为=+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-). 所以r=q+(r-p).所以r=-p+q. 3.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 (　　) A.A,B,D　　　　　 B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线. 4.(2019·临沂高一检测)点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在 (　　) A.△ABC内部　　 B.AC边所在的直线上 C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上 【解析】选B.因为=λ+,所以-=λ, 所以=λ,所以,共线,且有公共点P,所以P,A,C三点共线, 所以点P一定在AC边所在的直线上. 二、填空题(每小题4分,共8分) 5.如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=_____(用向量,表示).? 【解析】=+=+=-. 答案:- 6.已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,能使a,b共线的是_____.? ①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;③xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0);④已知在梯形ABCD中,=a,=b. 【解析】①由已知条件得,10a-b=0,故满足条件;②显然满足条件;对于③,当x+y=0时,a,b不一定共线;④中,若AB∥CD,则a,b共线,若AD∥BC,则a,b不共线. 答案:①② 三、解答题(共26分) 7.(12分)已知e,f为两个不共线的向量,且四边形ABCD满足=e+2f, =-4e-f,=-5e-3f. (1)将用e,f表示. (2)求证:四边形ABCD为梯形. 【解析】(1)根据向量的线性运算法则,有=++= (e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f. (2)因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与同向,且的长度为长度的2倍,所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形. 8.(14分)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,E,F分别为AC,BA的中点,AD,BE,CF相交于点O, 求证:(1)=(+). (2)++=0. (3)++=0. 【证明】(1)因为D为BC的中点, 所以=+,=+, 所以2=+++, 所以=(+). (2)因为=(+),=(+),=(+),所以++=0. (3)因为=-,=-, =-, 所以++=0. (15分钟·30分) 1.(4分)(2019怀化高一检测)已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为 (　　) A.P在△ABC内部　 B.P在△ABC外部 C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的三等分点 【解析】选D.因为=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=,所以点P是AC边的一个三等分点. 2.(4分)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的 (　　) A.外心　　 B.内心 C.重心　　 D.垂心 【解析】选C.设BC中点为点M,则=,则有=+λ,即=λ,所以P点的轨迹所 ... ...