人教版高中数学必修五知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.5 等比数列的前n项和

2.5 等比数列的前n项和 知识 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为，则等比数列的前项和的公式为 2．等比数列前n项和公式的函数特性 （1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数， 则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点． （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即， 设，则上式可写成的形式， 则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 3．等比数列前n项和的性质 设等比数列的前n项和为，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质： （1）当时，；当时，． （2）． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 知识参考答案： 1． 2． 3． 重点 重点 等比数列前n项和公式的应用、基本量的计算 难点 等比数列前n项和的性质及应用、与等差数列的综合问题、数列求和问题 易错 运用前n项和公式时忽略对公比的讨论 等比数列的前n项和的相关计算问题 在等比数列问题中共涉及五个量：及，利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”．注意方程思想、整体思想及分类讨论等思想的应用． （1）已知等比数列是递增数列，是的前n项和，若，是方程的两个根，则_____； （2）在等比数列中，公比为，前n项和为，若，，则_____，_____． 【答案】（1）364；（2），． 【解析】（1）因为，是方程的两个根，且是递增数列， 所以，，则公比，所以． （2）方法1：由于，所以，由，，可得， 可得，解得，代入得， 所以，． 方法2：因为，且，，所以，解得，由，解得， 所以，． 【名师点睛】本题中，第（2）问中的方法1使用了求和公式，因此要对公比q是否为1作出判断，而方法2避开了使用求和公式，则避免了这一判断．在使用等比数列前n项和公式时，一定要先确定公比q是否等于1，当无法确定时，要对q是否为1作分类讨论． 等比数列的前n项和性质的应用 已知等比数列的前n项和为，若，，则_____． 【答案】140 【解析】方法1：设的公比为，由于，所以． 由，列方程组即可求解，此处不再赘述． 方法2：由，，易得公比， 根据等比数列前n项和的性质（1），可得，即，解得， 又，所以，． 方法3：根据等比数列前n项和的性质（2），可得，即，解得，所以． 方法4：根据等比数列前n项和的性质（4），可知，，成等比数列， 则，即，解得． 【名师点睛】恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，可以避繁就简，不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题时把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点． 等差数列、等比数列的综合问题 已知等比数列的公比． （1）若，求数列的前项和； （2）证明：对任意的，，，成等差数列． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）由及，得， 所以数列的前项和． （2）对任意的，， 由，得=0，故=0． 所以，对任意的，，，成等差数列． 【名师点睛】解决等差数列与等比数列综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化． 与等比数列有关的数列求和问题 1．错位相减法的应用 错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法． 当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和． 已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2 ... ...