课件36张PPT。第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 反证法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点) 2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点) 1.通过反证法的学习，体现了数学逻辑推理的素养. 2.借助反证法证明问题，提升逻辑推理的素养. 反证法的定义及证题的关键 思考：反证法的实质是什么？ [提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的． 1．“ab C．a＝b D．a＝b或a>b [答案] D 2．用反证法证明“如果a＞b，那么> ”，假设的内容应是_____． [答案] ≤ 3．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有_____．(填序号) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． ①②③ [反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．] 用反证法证明否定性命题 【例1】 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列． [证明] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b. ∵a，b，c成等比数列， ∴b2＝ac，即b＝， ∴a＋c＋2＝4， ∴(－)2＝0， 即＝. 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故，，不成等差数列． 1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法． 2．用反证法证明数学命题的步骤 1．已知△ABC的三条边长是a，b，c，且，，构成公差不为0的等差数列，求证：B不可能是钝角． [证明] 假设B是钝角，则B是最大角， 因此b＞a，b＞c， 所以＜，＜， 则＜＋. 又因为，，构成公差不为0的等差数列， 所以＝＋， 这与＜＋相矛盾，故假设错误． 即B不可能是钝角． 用反证法证明唯一性命题 【例2】 求证方程2x＝3有且只有一个根． [证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3， 两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证． 巧用反证法证明唯一性命题 ?1?当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明. ?2?用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立. ?3?证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性. 2．求证：两条相交直线有且只有一个交点． [证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点． 若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾． 若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点． 用反证法证明“至多”“至少”问题 [探究问题] 1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？ 提示： 量词 含义 至少有一个 有n个，其中n≥1 至多有一个 有0或1个 至少有n个 大于等于n个 2.在反证法证明中，你能 ... ...
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