3.1 数学归纳法原理:26张PPT

课件26张PPT。3.1　数学归纳法原理1.了解数学归纳法的原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.1.归纳法 由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法. 名师点拨根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法. (1)不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得到一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的,但它是一种重要的思考问题的方法,是研究数学问题的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径. (2)完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时,采用完全归纳法.【做一做1-2】 从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…,猜想第n个式子为　　　　　.?2.数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k(k∈N,且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 完成两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.名师点拨1.这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2),就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论.缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了. 2.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时命题成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明. 3.用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.【做一做2-1】 下列说法中不正确的是(　　) A.数学归纳法中的两个步骤相互依存,缺一不可 B.数学归纳法证明的是与正整数有关的命题 C.数学归纳法证明的第一步是递推的基础,第二步是递推的依据 D.数学归纳法中第一步必须从n=1开始 答案:D故当n=k+1时,不等式成立. 上述的证明过程中,不正确的一步的序号为　　　　　.? 解析:在(2)中,由n=k到n=k+1的证明,没有用上归纳假设,故(2)错误. 答案:(2)1.为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢? 剖析:这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时命题成立,这样假设就有了存在的基础.假设当n=k时命题成立,根据假设和合理推证,证明出当n=k+1时命题也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了当n0=1时命题成立,又证明了当n=k+1时命题也成立,这就一定有当n=2时命题成立,当n=2时命题成立,则当n=3时命题也成立;当n=3时命题成立,则当n=4时命题也成立.如此反复,以至无穷.对所有n≥n0的正整数命题就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题,这就是数学方法的神奇.2.什么时候可以运用数学归纳法证明,证明时n0是否一定要为1? 剖析:数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明 (n∈N*)的单调性就难以实现,一般说来,从n=k到n=k+1时,若问题中存在可利用的递推关系,则使用数学归纳法就较简单,否则使用数学归纳法就有困难. 在运用数学归纳法时,要注意起点n并非一定取1,也可能取2等值,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°,这里面的n应不小于3,即n≥3,第一个值n0=3 ... ...