中小学教育资源及组卷应用平台 高三周周练（4） 1.双曲线的焦距是（ ） A. B. C. D. 【详解】双曲线的焦距为.故选D. 2.已知平面，直线，若，，，则“”是“中至少有一条与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】先判断充分性，当时，假设都不与垂直. 在平面内作的垂线，由可得，则. 由，不垂直于可得与相交. 由，可得.所以，矛盾. 所以当时，可以推出中至少有一条与垂直，即充分性成立. 再判断必要性，当中至少有一条与垂直时，不妨设， 由可得，所以，即必要性成立. 综上所述，“”是“中至少有一条与垂直”的充要条件.故选C. 3.已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【详解】的可能取值为. 表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故. 表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故. 表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故. 所以.故选A. 4.已知，则取到最小值时， A. B. C. D. 【详解】由，可得，且. 所以， 当且时等号成立，解得. 所以取到最小值时.故选D. 5.已知正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线平面，分别是棱上一点（除端点），将正三棱锥绕直线旋转一周，则能与平面所成的角取遍区间一切值的直线可能是（ ） A. B. C. D. 中的任意一条 【详解】假设满足题意，当与平面所成的角为时， ，由可得. 在正三棱锥中，可得，当时可得， 显然这是不可能成立的，所以不满足题意. 同理，与不可能垂直，则与平面所成的角不可能为. 综上所述，可以排除A,C,D，故选B. 6.已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A. B. C. D. 【详解】设，则，， 所以.易得， ， 当时，取得最小值，取得最大值， 此时.故选C. 7.已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】由单调递增，可得， 由，可得，所以. 时，可得.① 时，可得，即.② 若，②式不成立，不合题意； 若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意. 排除B,C,D,故选A. 8.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两_____文． 【详解】设肉价是每两文，由题意得，解得，即肉价是每两文. 9.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体最长的棱长是_____，体积等于_____． 【详解】由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥, 其中，最长的棱长是， 体积. 10.在锐角中，内角所对的边分别是，，，则_____．的取值范围是_____． 【详解】由正弦定理，可得，则. 由，可得， ， 所以. 由是锐角三角形，可得，，则， 所以，. 所以. 11.已知二项式的展开式中，第项是常数项，则_____．二项式系数最大的项的系数是_____． 【详解】二项式展开式的通项为，因为第项是常数项，所以，即.当时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项的系数是. 12.定义，已知函数，,，则的取值范围是_____，若有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 【详解】由题意得，当时，，当时，，故的取值范围是. 如图所示，,令，解得，则 . 若有四个不同的实根，则，解得，即. 13.已知函数 （Ⅰ）求函数的单调增区间； （Ⅱ）若，，求的值. 【详解】（Ⅰ） ， 由，得 函数的单调增区间是(). （Ⅱ）由 ，得， 因为，所以， 所以， 所以 14.如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且, （Ⅰ）求证： ... ...
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