数学高中人教A版必修4教案：2.5.1平面向量的应用举例Word版含解析

第二章　平面向量 2.5　平面向量应用举例 2.5.1　平面几何中的向量方法 / 学习目标 1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法———向量法和坐标法. 3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:若O为△ABC重心,则 ???? + ???? + ???? =　　　　 .? 问题2:水渠横断面是四边形ABCD, ???? = 1 2 ???? ,且| ???? |=| ???? |,则这个四边形为　　　　.? 二、信息交流,揭示规律 问题3:(1)向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会? (2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例. 三、运用规律,解决问题 【例1】证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. / 已知:平行四边形ABCD. 求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. 用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤: (1)　;? (2)　;? (3)　.? 【例2】如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗? / 四、变式演练,深化提高 练习:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 编题不只是教师的专利.请自己编题,并且加以解决. 五、反思小结,观点提炼 请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获? 布置作业 课本P113习题2.5A组第1,2题. 参考答案/ 一、设计问题,创设情境 问题1: ???? + ???? + ???? =0 问题2:等腰梯形 二、信息交流,揭示规律 问题3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图,平行四边行ABCD中,设 ???? =a, ???? =b,则 ???? = ???? + ???? =a+b(平移), ???? = ???? ? ???? =a-b, ???? 2 =b2=|AD|2(长度).向量 ???? , ???? 的夹角为∠DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题. / 三、运用规律,解决问题 【例1】证明:不妨设 ???? =a, ???? =b,则 ???? =a+b, ???? =a-b,| ???? |2=|a|2,| ???? |2=|b|2. 得| ???? |2= ???? · ???? =(a+b)·(a+b) =a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.　① 同理| ???? |2=|a|2-2a·b+|b|2.　② ①+②得 | ???? |2+| ???? |2=2(|a|2+|b|2)=2(| ???? |2+| ???? |2). 所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【例2】解:设 ???? =a, ???? =b,则 ???? =a+b. 由 ???? 与 ???? 共线,因此,存在实数m,使得 ???? =m(a+b). 又由 ???? 与 ???? 共线,因此存在实数n,使得 ???? =n ???? =n( 1 2 b- a). 由 ???? = ???? + ???? = ???? +n ???? , 得m(a+b)=a+n( 1 2 b-a). 整理得(m+n-1)a+(m- 1 2 n)b=0. 由于向量a,b不共线, 所以有 ??+??-1=0, ??- 1 2 n=0, 解得 ??= 1 3 , ??= 2 3 , 所以 ???? = 1 3 ???? . 同理 ???? = 1 3 ???? . 于是 ???? = 1 3 ???? . 所以AR=RT=TC. 四、变式演练,深化提高 练习:解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到 |F1|= |??| 2cos ?? 2 . 通过上面的式子我们发现,当θ由0°~180°逐渐变大时, ?? 2 由0°~90°逐渐变大,cos ?? 2 的值由大逐渐变小,因此,|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. ... ...