第23课时 等腰三角形 【考点整理】 1．等腰三角形的概念和性质 定义：有两_____相等的三角形是等腰三角形． 性质：(1)等腰三角形是_____，顶角平分线所在直线是它的对称轴； (2)等腰三角形的两个底角相等(简称_____)； (3)等腰三角形的顶角_____，底边上的_____和高线互相重合(简称等腰三角形三线合一)． 【智慧锦囊】 等腰三角形常见结论： (1)等腰三角形两腰上的高相等；(2)等腰三角形两腰上的中线相等；(3)等腰三角形两底角的平分线相等；(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高． 2．等腰三角形判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．(简称等角对等边) 拓展：(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形； (2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形； (3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． 3．等边三角形的性质 定理：等边三角形的各个角都等于60°. 4．等边三角形的判定： 判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角等于60°的_____三角形是等边三角形． 5．线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_____． 判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的_____上． 【智慧锦囊】 (1)等腰三角形的性质常用于证明角相等、线段相等、直线垂 直，其用途较广，题型变化多； (2)已知等腰三角形，常添的辅助线是作底边上的高(或顶角平 分线或底边上的中线)； (3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线． 【解题秘籍】 1．分类讨论 在等腰三角形中，若条件中没有明确底和腰时，一般 应从某一边是底还是腰进行讨论，还要注意构造三角形的条件，满足三边关系；同样在条件中没有明确底角和顶角时，也要进行分类讨论． 2．方程思想 与等腰三角形有关的角度计算，常用方程思想，结合三角形内角和等于180°来解，是中考的热点考题． 【易错提醒】 1．等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； 2．解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形，在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句不能限制太多，如“作一边上的高并且要平分这条边”“作一个角的平分线并且垂直对边”等，这些都是不正确的； 3．在解有关等腰三角形问题时，不要总认为腰大于底，实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形. 【题型解析】 1.等腰三角形的性质 【例题1】（2018?四川成都?3分）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数为_____． 2. 等腰三角形的性质与线段的垂直平分线的结合 【例题2】（2019?湖北武汉?3分）如图，在?ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 ． 3. 等腰三角形的判定 【例题3】（2018·湖北省孝感·7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D； ②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P； ③连接PB，PC． 请你观察图形解答下列问题： （1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 ； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数． 4.等边三角形的性质与判定 【例题4】如图23－12，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形． 【同步检测】 一、选择题： 1. （2019湖北宜昌3分）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ） A．B． C．D． 2. （2019?湖南长沙?3分）如图，Rt△AB ... ...
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