第五节 椭 圆 1．椭圆的标准方程 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2．椭圆的几何性质 掌握椭圆的简单性质． / 知识点一 椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆 F1，F2为椭圆的焦点 |F1F2|为椭圆的焦距 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a>|F1F2| ?易误提醒 当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [自测练习] 1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( ) A．2 B．3 C．5 D．7 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 / / 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 ?易误提醒 注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因． ?必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成＋＝1(m2≠n2)的形式． (2)以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，注意以下公式的灵活运用： ①|PF1|＋|PF2|＝2a； ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ； ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ. [自测练习] 2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝_____. 3．椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为_____． 4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于_____． / 考点一 椭圆的定义及方程|/ / 1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( ) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 2.(2019·大庆模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( ) A. B. C. D. / 椭圆定义应用的两个方面 一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 考点二 椭圆的几何性质|/ / / (1)(2019·高考广东模拟)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( ) A．2 B．3 C．4 D．9 (2)如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为( ) A. B. C. D. / 求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路 (1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． (2)求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a，b的关系．e2＝＝＝1－?＝ . / 1．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭 ... ...
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