第三节 二项式定理 二项式定理的应用 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． / 知识点一 二项式定理 1．定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫作二项式定理． 2．通项 Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项． ?易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项． (2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． (3)通项是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素． [自测练习] 1.6的展开式中常数项为_____． 2.8的展开式中的有理项共有_____项． 知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数 二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1，…，n})叫作二项式系数． (2)项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 2．二项式系数的性质 性 质 内 容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大； 当k>时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn 3.各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. ?易误提醒 二项式系数与展开式项的系数的异同： 在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tk＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tk＋1＝C2n－k·3kxn－kyk，其中C2n－k3k就是Tk＋1项的系数． [自测练习] 3．(2019·高考四川模拟)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是_____．(用数字填写答案)． 4．C＋3C＋5C＋…＋(2n＋1)C＝_____. / 考点一 二项展开式中特定项与系数问题|/ / 1．(2019·海淀模拟)3的展开式中的常数项为( ) A．12 B．－12 C．6 D．－6 2．(2019·高考安徽模拟)7的展开式中x5的系数是_____．(用数字填写答案) 3．若n展开式中含有x2项，则n的最小值是_____． / 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可． 考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|/ / / (1)若n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( ) A．360 B．180 C．90 D．45 (2)若a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，则a2＋a3＋a4＝_____. / (1)赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大． (2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大． / (2019·成都一中模拟)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|/ 在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有： 1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多 ... ...
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