第六节 双曲线 1．双曲线的标准方程 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．双曲线的几何性质 知道双曲线的简单几何性质． / 知识点一 双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 双曲线 F1，F2为双曲线的焦点 ||MF1|－|MF2||＝2a |F1F2|为双曲线的焦距 2a<|F1F2| ?易误提醒 双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在． [自测练习] 1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为_____． 解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44. 答案：44 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图 形 / / 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称中心：原点 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 对称轴：坐标轴； 顶点 顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) ?易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同． 若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，)； 若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝； 若0
. (2)注意区分双曲线与椭圆中的a，b，c的大小关系：在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±. [自测练习] 2．“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( ) A．2 B. C. D．1 4．已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是( ) A．15° B．25° C．60° D．165° / 考点一 双曲线的定义及标准方程|/ / 1．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于( ) A．4 B．8 C．24 D．48 2．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( ) A.＋4 B.－4 C.－2 D.＋2 / 求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点 (1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． (2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混． 考点二 渐近线与离心率问题|/ 双曲线的渐近线与离心率 ... ... 