第九节 离散型随机变量的期望与方差、正态分布 1．均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单 离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 2．正态分布 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义． / 知识点一 均值 1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np. ?易误提醒 理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态． [自测练习] 1．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) A. B．4 C．－1 D．1 知识点二 方差 1．设离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．D(aX＋b)＝a2D(X)． 3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 4．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． ?易误提醒 (1)D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度．D(ξ)越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中在E(ξ)附近．统计中常用标准差 来描述ξ的分散程度． (2)D(ξ)与E(ξ)一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定． (3)D(ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同，而E(ξ)、 与ξ的单位相同． (4)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． [自测练习] 2．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝( ) A．6 B．9 C．3 D．4 3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝_____. 知识点三 正态分布 1．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值. (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 2．正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ3)＝0.158 7，则P(ξ>1)＝_____. / 考点一 离散型随机变量的均值|/ / / (2019·高考安徽模拟)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)． / 求离散型随机变量均值的步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值． (2)求X的每个值的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值定义求出E(X)． / 1．(2019·合肥模拟)某校在全 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
