第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.2 简单的线性规划问题 3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时) 学习目标 1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念. 3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题. 例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表: 产品 所需配件及数量 耗时(小时/件) 利润(万元/件) 甲产品 A配件4个 1 2 乙产品 B配件4个 2 3 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,怎样安排生产才能使利润最大? 问题1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系? 根据这些数量关系,可以设出几个未知数? 请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系. 问题2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题? 问题3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的x,y的值呢? 二、信息交流,揭示规律 问题4:若把不等式组改变为x+2y≤8,x≤4,y≤3,x≥0,y≥0.求z=2x+3y的最大值,这种方法还可以用吗?那样如何求解呢? 问题5:大家在刚才的代入法求解中,有没有发现点A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都为9,也就是使2x+3y=9成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1)会对应着类似的直线吗? 问题6:如何从几何角度认识z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线?那么,怎样求z的最大值呢?请大家自己探究一下. 三、运用规律,解决问题 【例题】设z=2x+y,式中变量x,y满足条件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值. 问题7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么. 四、变式训练,深化提高 变式训练1:设z=6x+10y,式中x,y满足条件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值. 变式训练2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点? 问题8:目标函数z=ax+by中,z与纵截距的关系主要由哪个字母决定? 问题9:刚才有的同学得出目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的点C和点B,这是什么原因造成的呢? 五、反思小结,观点提炼 问题10:目标函数z=ax+by中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题? 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题情境: 问题1:生产的甲、乙产品的数量. 等量关系:使用的A配件数量=甲产品数量×4; 使用的B配件数量=乙产品数量×4; 利润=2×甲产品数量+3×乙产品数量. 不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时≤8; 使用的A配件数量≤16; 使用的B配件数量≤12; 甲、乙产品的数量都是自然数. 甲产品数量x、乙产品数量y、利润z. x+2y≤8,4x≤16,4y≤12,x,y∈N.即x+2y≤8,x≤4,y≤3,x,y∈N. 问题2:已知实数x,y满足x+2y≤8,x≤4,y≤3,x,y∈N.求z=2x+3y的最大值. 问题3:碰到过;用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于x,y的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入z=2x+3y,通过比较求得最大值. 二、信息交流,揭示规律 学生探究1:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 可以求得平面区域内满足x,y∈N的点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2). 将坐标代入,比较知道,当x=4,y=2时,z最大为14. 问题4 ... ...
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