高中数学苏教版必修1讲义：2.1.2函数的表示方法

2.1.2　函数的表示方法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点) 2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养. 1．函数的表示方法 2．分段函数 (1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． (2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集． (3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示． (　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示． (　　) (3)有些函数能用三种方法来表示． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．若函数f(x)＝则f(x)的定义域为_____，值域为_____． {x|x≠0}　{y|y>－1}　[定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}， 当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．] 3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)． [解]　列表法： 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}． 图象法： 求函数解析式 【例1】　求下列函数的解析式． (1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝_____. (2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝_____. (3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝_____. (4)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为_____． (5)若f ＝x2＋，则f(x)＝_____. 思路点拨：(1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解． (1)－x＋3　(2)x2－1(x≥1)　(3)2x－或－2x＋1　 (4)f(x)＝　(5)x2＋4　 [(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b， f(2x－1)＝a(2x－1)＋b， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6， 所以解得 即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3. (2)法一：令＋1＝t(t≥1)， 则＝t－1，x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1， 则 解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (4)由题意得解得 故f(x)＝ (5)f ＝x2＋＝＋4， ∴f(x)＝x2＋4.] 求函数解析式的常用方法 (1(待定系数法：已知函数f(x(的函数类型，求f(x(的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组(，确定其系数即可. (2(换元法：令t＝g(x(，注明t的范围，再求出f(t(的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x(，一定要注意t的范围即为f(x(中x的范围. (3(配凑法：已知f(g(x((的解析式，要求f(x(时，可从f(g(x((的解析式中拼凑出“g(x(”，即用g(x(来表示，再将解析式两边的g(x(用x代替即可. (4(代入法：已知y＝f(x(的解析式求y＝f(g(x((的解析式时，可直接用新自变量g(x(替换y＝f(x(中的x. 1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝_____. (2)若f＝＋，则f(x)＝_____. (1)x＋　(2)x2－x＋1(x≠1)　 [(1)设f(x)＝k1x＋，则? ∴f(x)＝x＋. (2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．] 分段函数 【例2】　已知函数f(x)＝ 试求f(－5)，f(－)，f 的值． 思路点 ... ...