第2课时 函数的最大(小)值 [目标] 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值． [重点] 理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值． [难点] 求函数的最大值或最小值. 知识点 函数的最大值和最小值 [填一填] 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，记作f(x)max＝M. 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；存在x0∈I，使得f(x0)＝N，就称N是函数y＝f(x)的最小值，记作f(x)min＝N. [答一答] 1．函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗？ 提示：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0. 2．函数的最值与函数的值域有什么关系？ 提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值． 3.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C ) A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 类型一 利用函数的图象求最值 [例1] 已知f(x)＝2|x－1|－3|x|. (1)作出函数f(x)的图象； (2)根据函数图象求其最值． [解] (1)当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 所以y＝ 结合上述解析式作出图象，如图所示． (2)由图象可以看出，当x＝0时，y取得最大值ymax＝2.函数没有最小值． 利用图象求函数最值的方法： ①画出函数y＝f(x(的图象； ②观察图象，找出图象的最高点和最低点； ③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值. [变式训练1] 已知函数f(x)＝ 求f(x)的最大值、最小值． 解：如图所示，当－≤x≤1时， 由f(x)＝x2得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0； 当10,1f(x2)，即f(x)在区间[1,2]上是减函数． (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4；f(x)的最大值为f(1)，f(1)＝1＋4＝5，∴f(x)的最小值为4，最大值为5. (1(运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值. (2(①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍. [变式训练2] 求f(x)＝在区间[2,5]上的最值． 解：任取2≤x10，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)
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