第一章 1.4 1.4.1、2 A级 基础巩固 一、选择题 1．下列命题中，全称命题的个数为( C ) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] ①②是全称命题，③是特称命题． 2．下列特称命题中真命题的个数是( D ) ①?x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数． A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] ①②③都是真命题． 3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( A ) A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 B．存在实数x0，使sin x0＝ C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β [解析] 选项A，B为特称命题，故排除C、D.因>1，则不存在实数x0，使sin x0＝，故排除B，故选A． 4．下列命题： ①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称命题的有( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 [解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题． 5．下列命题中为特称命题的是( C ) A．所有的整数都是有理数 B．三角形的内角和都是180° C．有些三角形是等腰三角形 D．正方形都是菱形 [解析] A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题． 6．已知命题p：?x0∈R，x＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( A ) A．[0,4] B．(0,4) C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞) [解析] 假设p为真， Δ＝a2－4a>0 即a>4或a<0 ∵p为假，∴0≤a≤4 ∴实数a的取值范围[0,4]． 二、填空题 7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成特称命题为__?x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__. [解析] 根据特称命题的定义改写． 8．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__. [解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题． 当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题， 对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题， 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立， ∴④为假命题．∴①②③④均为假命题． 三、解答题 9．用符号表示下列全称命题： (1)对任意a>1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数； (2)对所有实数m，都有<0； (3)对每一个实数x，都有cos x<1. [解析] (1)?a>1，函数f(x)＝ax在R上是增函数． (2)?m∈R，<0. (3)?x∈R，cos x<1. B级 素养提升 一、选择题 1．下列命题为特称命题的是( D ) A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在大于等于3的实数 [解析] 选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D. 2．下列命题是真命题的是( D ) A．?x∈R，(x－)2>0 B．?x∈Q，x2>0 C．?x0∈Z,3x0＝812 D．?x0∈R,3x－4＝6x0 [解析] A中当x＝时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确． 3．已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( C ) A．(－∞，－2) B．[－2,0) C．(－2,0) D．(0,2) [解析] p真：m<0. q真：Δ＝m2－4<0，∴－2
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