第二章 2.2 2.2.2 A级 基础巩固 一、选择题 1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1或－＝1 D．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1. 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C ) A．2 B．2 C．4 D．4 [解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为－＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4. 3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C ) A．(，＋∞) B．(，2 ) C．(1，) D．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e＝. ∴c2＝＝1＋. ∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2， ∴10，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A． B．2 C． D．2 [解析] 由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2， 故选D. 5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( A ) A． B． C．2 D．3 [解析] 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A． 6．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( D ) A．(x－2)2＋y2＝4 B．x2＋(y－2)2＝2 C．(x－2)2＋y2＝2 D．x2＋(y－2)2＝4 [解析] 双曲线y2－＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D. 二、填空题 7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是__y＝±x__. [解析] 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x. 8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝__1__；b＝__2__. [解析] 由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1. 三、解答题 9．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程； (2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程． [解析] (1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4， ∴c2＝a2＋b2＝5， ∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为－y2＝1. (2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)． 由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. B级 素养提升 一、选择题 1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示( D ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 [解析] 方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D. 2．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( C ) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 [解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C． 3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1、F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( A ) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) [解析] 由双曲线方程可知F1(－，0)、F2(，0)， ∵·<0， ∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0， 即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<， ∴－
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