第二章 2.3 2.3.1 A级 基础巩固 一、选择题 1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D ) A．直线 B．椭圆 C．线段 D．抛物线 [解析] 因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线． 2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为( B ) A．(1,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(－1,0) [解析] 因为准线方程为x＝－2＝－， 所以焦点为(，0)，即(2,0)． 3．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为( C ) A． B．1 C．2 D．4 [解析] 抛物线x2＝4y中，P＝2，∴焦点到准线的距离为2. 4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( C ) A．(1,0) B． C． D． [解析] 抛物线的标准方程为x2＝y，∴p＝，且焦点在y轴的正半轴上，故选C． 5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( A ) A．0 B． C． D． [解析] 设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0. 6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( C ) A．2 B．2 C．2 D．4 [解析] 抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2， ∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2. 二、填空题 7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__2__，准线方程为__x＝－1__. [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1. 8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为__x＝－2__(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)． [解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2. 三、解答题 9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切． [证明] 设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|. ∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|. ∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|， ∴|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|. 由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切． B级 素养提升 一、选择题 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( B ) A． B． C．2 D．2 [解析] ∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝， 又＝，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝，故选B. 2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( D ) A．2 B．2 C． D．1 [解析] 本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1. 3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( D ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 [解析] 抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4. 4．(2019·山西太原高二期末)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F.若在E的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是( B ) A．(1,2) B．(1，] C．[，＋∞) D．(2，＋∞) [解析] 由题意得，A(a,0)，F(2a,0)，设P(x0，x0)，由⊥，得·＝0?x－3ax0＋2a2＝0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2×≥0?9a2≥8c2?e2≤?e≤，又因为E为双曲线，则1
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