第2章-4 平面向量的坐标学案

§4　平面向量的坐标 内容要求　1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算(难点)． 知识点1　平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量的坐标，记作a＝(x，y)． (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 【预习评价】 1．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同；(√) (2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；(√) (3)一个坐标对应于唯一的一个向量；(×) (4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(√) 2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？ 提示　由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同． 知识点2　平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． (4)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 【预习评价】 (1)若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是(　　) A．(1,2) B．(－1，－2) C．(－3,4) D．(3，－4) (2)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a－b的坐标为(　　) A．(1,5) B．(1,1) C．(3,1) D．(3,5) 答案　(1)C　(2)C 知识点3　向量平行的坐标表示 设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0. (2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 【预习评价】 1．平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若a∥b，则x＝_____. 答案　4 2．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝_____． 解析　∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3，当λ＝－3时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，∴a∥b成立． 答案　－3 题型一　平面向量的坐标表示 【例1】　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标． 解　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， ∴C(1，)，D(，)， ∴＝(2,0)，＝(1，)， ＝(1－2，－0)＝(－1，)， ＝(－2，－0)＝(－，)． 规律方法　(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算． 【训练1】　若已知A(1,2)，B(0，－1)，C(3，k)． (1)求； (2)若已知－＝(m，－2)，试求k、m. 解　(1)∵A(1,2)，B(0，－1)， ∴＝(－1，－3)． (2)∵－＝(－1，－3)－(3，k＋1) ＝. 由已知＝(m，－2)， ∴m＝－，k＝－. 题型二　平面向量坐标的线性运算 【例2】　已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)． (1)λ为 ... ...