第2章-平面向量章末复习课学案

章末复习课 网络构建 核心归纳 1．平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查． 2．向量的线性运算 主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题． 3．向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量． 4．平面向量的数量积 平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题． 5．平面向量的应用 一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题． 要点一　向量共线问题 运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线?存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线?x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线?|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线?存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点． 【例1】　设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线． 解　方法一　假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥， ∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线． 方法二　假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即∥，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线． 【训练1】　证明：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)． 证明　如图， 设＝a，＝b，＝3a－2b， ∵＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a， ∴＝－2，∴，共线． 又，有共同起点A，∴A，B，C在同一条直线上． ∴起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在一条直线上(a≠b)． 要点二　平面向量的线性运算 1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础． 2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用． 【例2】　如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量、； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解　(1)依题意，A是BC的中点， ∴2＝＋，即＝2－＝2a－b. ＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. (2)设＝λ， 则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. ∵与共线， ∴存在实数k，使＝k， (λ－2)a＋b＝k，解得λ＝. 【训练2】　计算： (1)3(6a＋b)－9(a＋b)； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b ＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a ... ...