第3章-2.3 两角和与差的正切函数学案

2.3　两角和与差的正切函数 内容要求　能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)． 知识点　两角和与差的正切公式 【预习评价】 1．tan 105°＝(　　) A．－2－ B．－1－ C. D．－2＋ 答案　A 2.＝_____. 答案　 题型一　化简求值 【例1】　求下列各式的值： (1)； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°. 解　(1)原式＝＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝ ＝＝2＋； (2)∵tan 45°＝＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30° ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1. 规律方法　在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的． 【训练1】　(1)； (2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°. 解　(1)∵tan 15°＝tan(45°－30°) ＝ ＝＝2－. ∴＝＝＝＝－. (2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°·tan 50° ＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°·tan 50°)＋tan 10°tan 50° ＝tan 60°－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝. 【探究1】　若tan＝，则tan α＝_____． 解析　tan α＝tan＝ ＝＝. 答案　 【探究2】　已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值． 解　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－， ∴sin θ＝.又∵θ是第二象限角， ∴cos θ＝－＝－， ∴tan θ＝＝－. 又∵tan φ＝， ∴tan(θ－φ)＝ ＝＝－2. 【探究3】　已知tan＝，tan＝2，求： (1)tan；(2)tan(α＋β)． 解　(1)tan ＝tan ＝ ＝＝－. (2)tan(α＋β)＝tan ＝ ＝＝2－3. 【探究4】　已知A、B、C是三角形ABC的三个内角，且tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，求tan C. 解　因为tan A、tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，所以tan A＋tan B＝－， tan A tan B＝－， 所以tan(A＋B)＝＝＝－2， 又A＋B＋C＝π. 所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2. 规律方法�———�给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角． 题型三　给值求角 【例2】　已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解　因为tan β＝－，tan(α－β)＝， 所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝， 所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝ ＝＝1. 因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0， 所以α∈，β∈，α－β∈(－π，0)． 又tan(α－β)＝＞0，所以α－β∈， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1， 故2α－β＝－. 规律方法　在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应． 【训练2】　已知tan α，tan β是x2＋3x＋4＝0的两根，－＜α＜，－＜β＜，求α＋β的值． 解　∵tan α＋tan β＝－3＜0，tan α·tan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0， ∵－＜α＜，－＜β＜， ∴－＜α＜0，－＜β＜0. ∴－π＜α＋β＜0， ∴tan(α＋β)＝＝＝， ∴α＋β＝－. 课堂达标 1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析　tan(α－β)＝＝＝. 答案　A 2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．不确定 解析　(1＋tan ... ...