中小学教育资源及组卷应用平台 17高考小题专练之函数零点的个数问题 1.已知函数f(x)＝其中m＞0，若函数y＝f(f(x))－1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_____． 解析：令f(f(x))＝1，得f(x)＝或f(x)＝m－1＜0，进一步得x＝或x＝m－＜0或x＝.因为已知m＞0，所以只要m＜1即可，即得0＜m＜1. 2：直线与函数的图象有三个相异的交点，则的取值范围为 ( )． A． B． C． D． 思路：考虑数形结合，先做出的图像，，令可解得：或，故在单调递增，在单调递减，函数的极大值为，极小值为，做出草图。而为一条水平线，通过图像可得，介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得： 答案：A 3. 已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a，若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_____． 答案：[－1，＋∞) 解析：要使得函数g(x)＝f(x)＋x＋a有两个零点，等价于方程f(x)＝－x－a有两个实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有两个交点，从图象可知，必须使得直线y＝－x－a不在直线y＝－x＋1的上方，即－a≤1?a≥－1. 4：设函数，若关于的方程在上恰有两个相异实根，则实数的取值范围是_____ 思路：方程等价于：，即函数与的图像恰有两个交点，分析的单调性并作出草图： 令解得： 在单调递减，在单调递增，，由图像可得，水平线位于之间时，恰好与有两个不同的交点。 答案： 5.已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝_____． 解析：因为f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a(e2－x－1＋e－(2－x)＋1)＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即直线x＝1为f(x)的图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为1，所以f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝. 6：已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：函数有三个零点，等价于方程有三个不同实数根，进而等价于与图像有三个不同交点，作出的图像，则的正负会导致图像不同，且会影响的位置，所以按进行分类讨论，然后通过图像求出的范围为。 答案：D 7.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_____． 解析：由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上单调递减，得0
