第16讲 数学基本方法之等积法 在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到. 【例题讲解】 例题1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，求AD的长为 ． 答案： AD＝2.4. 例题2、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值为 . 答案：. 【解析】连接BP，易知＝＋，所以·BE·CM＝·BE·PR＋·BC·PQ，由BC＝BE，等号两边同时约掉，剩下CM＝PR＋PQ，所以CM＝BC＝. 连接BP，过C作CM⊥BD， ∵＝＋ ＝BC×PQ×＋BE×PR× ＝BC×（PQ＋PR）× ＝BE×CM×， BC＝BE， ∴PQ＋PR＝CM， ∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝， 又∵BC＝CD，CM＝BD， ∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形， ∴CM＝＝， 即PQ＋PR值是． 【对于填空选择题，可用特殊值法！】 例题3 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是、、，则B＋C＋D的最大值为 ，最小值为 ． 答案：2，. 【解析】连接AC、DP， ＝1×1×1， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵AB＝1， ∴1≤AP≤， ＝＝AP×C， 1＝＝＋＋＝AP（B＋C＋D）， B＋C＋D＝， ∵1≤AP≤， ≤B＋C＋D≤2， 【巩固练习】 1、如图，点P为等边△ABC内任意一点，AB＝2，则点P到△ABC三边的距离之和为 . 2、如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为 . 3、如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD＝BC＝AC＝1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE＋PF的值是 . 4.如图，已知直线y＝2x－2上有一动点Q，点P坐标为（－1，0），则PQ的最小值为 . 【请用等积法】 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3.，则PE＋PF＝ . 6.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2. 7．如图，在△ABC中，∠ A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE＋PF＝AB． 8．如图，平行四边形ABCD中，AB: BC＝3:2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE: EB＝1:2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求证： 9.在△ABC中，AB＝13，BC＝14． （1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD＝5，则△ABC的面积为 ； （2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH＝x，AE＝m，CF＝n，请用含x的代数式表示m＋n，并求m＋n的最大值和最小值． 10．【问题情境】 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为．求证：PD＋PE＝CF． 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF． 小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋PE＝CF． 【变式探究】 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】 如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值； 【迁移拓展】 图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N ... ...
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