第24讲 构造圆问题 构造圆问题即图中本来没有圆，但可通过构造圆来解决一些几何问题 模型讲解 AD＝AC＝AB ∠ADB＝∠ACB 2∠ADB＝∠ACB ∠BAC＋∠BDC＝180° 【例题讲解】 例题1、如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 . 【解答】解：∵AB＝AC＝AD， ∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， ∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC， ∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°， ∴∠CAD＝2∠BAC＝88°． 故答案为：88°． 【巩固练习】 1、如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO＝ . 2、如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为（ ） A. B. C. D. 【例题讲解】 例题2、如图，△ABC≌△ADE，且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，BC、DE交于点O，则下列四个结论中，一定成立的有 （将序号填在横线上） ①∠1＝∠2；②BC＝DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上 【解答】解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED， ∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，故②正确； ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠1＝∠2，故①正确； ∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE， ∴， ∵∠1＝∠2， ∴△ABD∽△ACE，故③正确； ∵∠ACB＝∠AEF，∠AFE＝∠OFC， ∴△AFE∽△OFC， ∴，∠2＝∠FOC， 即， ∵∠AFO＝∠EFC， ∴△AFO∽△EFC， ∴∠FAO＝∠FEC， ∴∠EAO+∠ECO＝∠2+∠FAO+∠ECO＝∠FOC+∠FEC+∠ECO＝180°， ∴A、O、C、E四点在同一个圆上，故④正确． 故选：D． 【巩固练习】 1、如图，点B为线段AD上一动点，分别以AB和BD向上作等边△ABC和等边△BDE，连接AE和CD相交于点P，连接BP，求证：BP平分∠APD. 【例题讲解】 例题3、如图，已知平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）经过点（a，a）（a＞0）.线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（B、C均与原点0不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值 . 【解答】解：∵直线y＝kx（k≠0）经过点（a，a）， ∴tan∠COB＝＝， ∴∠COB＝60°， 过点C作CE⊥x轴于点E，延长CP交x轴于点F，连接OP，如图， 则∠OCE＝∠CFE＝30°， 设P点坐标为（x，y）（不妨设点P在第一象限，其他同理可求得），则OB＝x，PB＝y， 在Rt△PBF中，可得BF＝y， ∴OF＝OB+BF＝x+y， 在Rt△OCF中，OC＝OF＝， 在Rt△OCE中，OE＝OC＝， 则CE＝OE＝x+y，BE＝OB﹣OE＝x﹣＝x﹣y， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得CE2+BE2＝BC2， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝22， 整理可求得x2+y2＝， ∴OP＝＝， 即O、P两点的距离为定值， 故答案为：． 例题4、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若AB＝8，则PM的最大值是 . 【解答】解：连接CO，MO， ∵∠CPO＝∠CMO＝90°， ∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心）， 连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．即PMmax＝4． 【巩固练习】 1、如图，AB为直径，AB＝4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当 C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长（ ） A.随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B.随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C.随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D.随C、D的运动位置而变化，没有最值 【例题讲解】【构造圆解决角度问题】（重难点） 例题1、①已知在直角坐标系中，点O为坐标原点，点B坐标（5，0），在直线y＝k上找一点P，使得△OPB为直角三角形，当P点个数为4个时，求k的取值范围. ②已知在直角坐标系中，点O为坐标原点，点B坐标（0，5），在直线x＝k上找一点P，使得∠OPB＝45°，当P ... ...
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