9.2 等差数列(2)学案

9.2　等差数列(二) [学习目标]　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题． [知识链接] 在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？ [预习导引] 1．等差数列的图象 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n一次的函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，则d＝＝从而有an＝am＋(n－m)d. (2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. (2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (3){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列； d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列. 要点一　等差数列性质的应用 例1　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8. (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． 解　(1)方法一　根据等差数列的通项公式，得 a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. 方法二　根据等差数列性质 a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝， ∴a4＋a8＝2a6＝. (2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d， ∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2， ∴a2＝5， 又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 规律方法　解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪演练1　在等差数列{an}中： (1)若a3＝5，则a1＋2a4＝_____； (2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20等于_____． 答案　(1)15　(2)18 解析　(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15. (2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18. 要点二　等差数列的设法与求解 例2　三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数． 解　方法一　设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 方法二　设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2. 规律方法　利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为 ... ...