9.2 等差数列(3)学案

9.2　等差数列(三) [学习目标]　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． [知识链接] 1．设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为_____． 答案　 2．二次函数y＝2x2－4x－3，当x＝_____时，有最_____值为_____． 答案　1　小　－5 解析　函数y＝2x2－4x－3，∵a＝2>0, ∴x＝－＝－＝1时， ymin＝＝＝－5. 3．把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是_____，当x＝_____时，y有最大值_____． 答案　y＝－2(x－1)2＋5　1　5 解析　y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3 ＝－2(x－1)2＋5. ∴x＝1时，y有最大值5. [预习导引] 1．数列前n项和的概念 把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记作Sn. a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)． 2．等差数列前n项和公式 (1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝； (2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d. 3．等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 要点一　与等差数列Sn有关的基本量的计算 例1　在等差数列{an}中． (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解　(1)由题意，得Sn＝＝＝－5＝172， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－. (2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. (3)由得 解方程组得或 规律方法　a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． 跟踪演练1　等差数列{an}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a1－am＝18，求这个数列的通项公式． 解　设公差等于d，由题意可得偶数项共有项． 则ma1＋d＝77， ·(a1＋d)＋×2d＝33， a1－am＝－(m－1)d＝18， 解得m＝7，d＝－3，a1＝20，所以an＝a1＋(n－1)d＝20－3n＋3＝－3n＋23. 要点二　等差数列前n项和公式在实际中的应用 例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则 a1＝50＋1000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1105(元)， 即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)． 规律方法　建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． 跟踪演练2　甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解　(1)设n分钟后第1次相遇，依题意， 有2n＋＋5n＝70， 整理得n2＋13 ... ...