10.1 不等式的基本性质学案

10.1　不等式的基本性质 [学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. [知识链接] 下面关于不等式的几个命题正确的有_____. (1)若a>b，则a＋c>b＋c； (2)若a>b，则ac>bc； (3)a与b的和是非负数可表示为a＋b>0； (4)某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”可表示为0b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab，b>c，那么a>c. (3)如果a>b，c∈R那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc. 如果a>b，c<0，那么acb，且a，b同号，那么<. 要点一　实数大小的比较 例1　(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小. (2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小. 解　(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)， ∵x<1，∴x－1<0， 又∵2＋>0， ∴(x－1)<0， ∴x3－1<2x2－2x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号. 规律方法　作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形.一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算、分母或分子有理化等.另外还要注意分类讨论. 跟踪演练1　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小. 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)， ∵(a－b)2≥0，a＋b>0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2. 要点二　不等式性质的应用 例2　已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假. (1)若ac2>bc2，则a>b； (2)若aab>b2； (3)若a>b，>，则a>0，b<0. 解　(1)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0， ∴a>b，故该命题为真命题. (2)?a2>ab；又?ab>b2， ∴a2>ab>b2，故该命题为真命题. (3)由已知条件知a>b?a－b>0， 又>?－>0?>0， ∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0. 又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题. 规律方法　判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系.利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用. 跟踪演练2　判断下列各命题是否正确，并说明理由. (1)若<且c>0，则a>b； (2)若a>b>0且c>d>0，则>； (3)若a>b，ab≠0，则<； (4)若a>b，c>d，则ac>bd. 解　(1)?<，但推不出a>b，故(1)错. (2)由?>>0所以>成立，故(2)对. (3)错.例如，当a＝1，b＝－1时，不成立. (4)错.例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立. 1.已知a－4b，故B错. 2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b C.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b 答案　C 解析　由a＋b>0知a>－b，b>－a， 又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a. 3.下列命题中的真命题是(　　) A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若|a|>b，则a2>b2 C.若a>b，则a2>b2 D.若a>|b|，则a2 ... ...