第10章 习题课 简单的线性规划学案

习题课　简单的线性规划 [学习目标]　1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值. [预习导引] 1.二元一次不等式的几何意义 对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时， (1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域； (2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域. 2.用图解法解线性规划问题的步骤： (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解. 3.线性规划在实际问题中的题型 主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小. 要点一　二元一次不等式表示的平面区域 在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计. 例1　画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出x，y的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合. 所以，不等式组 表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]. (2)由图形及不等式组知 当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点； 当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点； 当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个). 跟踪演练1　在平面直角坐标系中，有两个区域M，N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1(0≤t≤1)所确定.设M，N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于(　　) A.－2t2＋2t B.(t－2)2 C.1－t2 D.－t2＋t＋ 答案　D 解析　作出由不等式组组成的平面区域M，即△AOE表示的平面区域， 当t＝0时，f(0)＝×1×1＝， 当t＝1时，f(1)＝×1×1＝， 当00时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到边界(一般是两直线交点)的位置得到的，当b<0时，则是向下方平移. 例2　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？ 解　将已知数据列成下表： 原料/10g 蛋白质/单位 铁质/单位 甲 5 10 乙 7 4 费用 3 2 设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z， 那么目标函数为z＝3x＋2y， 作出可行域如图所示： 把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一簇平行直线. 由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小. 由得A(，3)， ∴zmin＝3×＋2×3＝14.4. ∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省. 规律方法　数学 ... ...