4．1 二次函数的图像 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点) 2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点) 1.通过作不同类型二次函数的图像，研究图像间的关系，培养直观想象素养． 2．通过研究a，h，k对二次函数图像的影响，培养数学运算素养. 1．函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系 阅读教材P41～P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题． 二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍得到． 其中a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小． 思考1：函数y＝4x2的图像可由y＝x2的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍得到，还可以通过怎样的变换由y＝x2的图像得到y＝4x2的图像？ [提示] 因为y＝4x2＝(2x)2，所以y＝4x2的图像可由y＝x2的图像上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到． 思考2：对于函数y＝ax2(a≠0)，a越大，其图像开口越小吗？ [提示] 不一定小．例如函数y＝x2与y＝－x2的图像的开口大小相同，决定其开口大小的是|a|，|a|越大，开口越小． 2．函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像 阅读教材P42第3自然段～P44的有关内容，完成下列问题． (1)y＝ax2y＝a(x＋h)2 y＝a(x＋h)2＋k. (2)将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像． 思考3：通过怎样的变换，可以由函数y＝x2的图像得到y＝2(x－1)2的图像？ [提示] 把函数y＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2x2的图像； 把函数y＝2x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2的图像． 1．函数y＝2x(3－x)的图像可能是( ) B [由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图像与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图像开口向下，故排除D，因此选B.] 2．把函数y＝x2的图像向下平移1个单位长度，将得到的函数图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为( ) A．y＝2x2－1 B．y＝2x2－2 C．y＝2x2＋1 D．y＝2x2＋2 B [y＝x2→y＝x2－1→y＝2(x2－1)＝2x2－2.] 3．二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图像开口大小_____，开口方向_____． 相同 相反 [由|2|＝|－2|，知二者开口大小相同；由2>0，－2<0，知二者开口方向相反．] 4．下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为_____． ①f(x)＝x2；②f(x)＝x2；③f(x)＝－x2；④f(x)＝－3x2. ④②③① [依据|a|越大，开口越小，知从小到大的顺序排列为④②③①.] 二次函数图像间的变换 【例1】 若把函数y＝x2－6x＋6图像的横坐标缩小到原来的倍，得到图像C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C2，试写出图像C2的解析式． [解] y＝x2－6x＋6y＝(2x)2－12x＋6＝4x2－12x＋6＝4x2－12x＋6，即y＝8x2－24x＋12.所以图像C2的解析式为y＝8x2－24x＋12. ?1?平移变换不改变图像的形状，只改变图像在坐标系中的位置. ①x轴上平移，即把x换成?x±k??k>0，左正右负?； ②y轴上平移，即把y换成?y±h??h>0，下负上正?. ?2?伸缩变换改变图像的形状. ①把横坐标变化到原来的ω?ω>0且ω≠1?倍，即把x换成. ②把纵坐标变化到原来的λ?λ>0且λ≠1?倍，即把y换成 1．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝_____，c＝_____. －6 6 [二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3. 整理得，y＝x2＋(b＋4)x＋7 ... ...
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