第3讲 柯西不等式与排序不等式复习课学案

复习课 学习目标　1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法． 1．二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥. 2．一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 3．排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 类型一　利用柯西不等式证明不等式 例1　已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋. 证明　由柯西不等式知， ·≥2， 于是＋＋＋≥＋＋＋. ① 等号成立?＝＝＝ ?＝＝＝?a＝b＝c＝d. 又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立． 即＋＋＋＞＋＋＋. 反思与感悟　利用柯西不等式证题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解． (2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会． 跟踪训练1　若n是不小于2的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜. 证明　1－＋－＋…＋－ ＝－2 ＝＋＋…＋， 所以求证式等价于＜＋＋…＋＜. 由柯西不等式，有 [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2， 于是＋＋…＋＞ ＝＝≥＝， 又由柯西不等式，有＋＋…＋ ＜ ＜＝. 综上，＜1－＋－＋…＋－＜. 类型二　利用排序不等式证明不等式 例2　设A，B，C表示△ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥. 证明　不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)，得≥. 引申探究 若本例条件不变，求证：＜. 证明　不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b， 有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得＜. 反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择． (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷． 跟踪训练2　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10. 证明　由a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c， 于是a12≥b12≥c12，≥≥. 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. ① 又因为a11≥b11≥c11，≤≤， 再次由排序不等式，得 ＋＋≤＋＋. ② 由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10. 类型三　利用柯西不等式或排序不等式求最值 例3　(1)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值． (1)解　由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2] ≥[1 ... ...