第二章 2.1.2 A级 基础巩固 一、选择题 1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( D ) A．4 B．5 C．7 D．8 [解析] 由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m， ∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8. 2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A ) A． B． C． D． [解析] 由题意，得a＝2c，∴e＝＝. 3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [解析] 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)， ∵b＝2，∴a2＝25，故选B． 4．(2018·全国Ⅰ文，4)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( C ) A． B． C． D． [解析] 由题意得焦点在x轴，∵a2＝4＋22＝8， ∴a＝2，∴e＝＝＝. 故选C． 5．已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为－，则动点P的轨迹方程为( A ) A．＋＝1(x≠±2) B．＋＝1(y≠±) C．＋＝1 D．＋＝1(y≠±2) [解析] 设P(x，y)，则·＝－， ∴3(x2－4)＋4y2＝0， ∴＋＝1(x≠±2)，选A． 6．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A ) A． B． C． D． [解析] 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a. 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝＝a， 解得a＝b，∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 二、填空题 7．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1，则椭圆E的方程为 ＋＝1 . [解析] 由已知，点C、D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 又P点的坐标为(0,1)，且·＝－1， 于是解得a＝2，b＝， 所以椭圆E方程为＋＝1. 8．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ 3或 . [解析] 当焦点在x轴上时，e＝＝， ∴m＝3. 当焦点在y轴上时，e＝＝，∴m＝. 三、解答题 9．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)求△PF1F2的面积． [解析] (1)由题意可知a2＝49，b2＝24， ∴a＝7，b＝2，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝. (2)由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由题意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100， ∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96， ∴|PF1||PF2|＝48. ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24. B级 素养提升 一、选择题 1．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( B ) A．8,6 B．4,3 C．2， D．4,2 [解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是. ∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为＝＝3， 故选B． 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A ) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [解析] 根据条件可知＝，且4a＝4， ∴a＝，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋＝1. 3．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( D ) A．1 B． C．2 D．2 [解析] 由，得 (1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0， 由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5， ∴椭圆的长轴长为2. 4．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B ) A． B． C． D． [解析] 圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部， ∴只需?0<≤. 即椭圆离心率的取值范围是. 二、填空题 5．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7，七个点，F是椭圆的一个焦点，则| ... ...
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