课件45张PPT。第二课时 函数的最大(小)值[目标导航]新知导学·素养养成1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) M; ②存在x0∈I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标.思考1:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.≤f(x0)=M高纵2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足; ①对于任意的x∈I,都有f(x) M; ②存在x0∈I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.思考2:已知函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值? 答案:如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).≥f(x0)=M低纵思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系?答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.名师点津关于函数最值的说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方. (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.课堂探究·素养提升(2)求函数f(x)在[1,4]上的最值.方法技巧利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系写出函数的最值.(2)求f(x)在区间[2,5]上的最值.②求函数f(x)在[3,5]上的值域.②对于①中的函数在区间A上的值域是[4,5],求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点-区间的左端点); ③若①中的函数的定义域是[2,+∞),解不等式f(a2-a)≥f(2a+4).解:作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1. 当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.方法技巧(1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)的一个. (2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值.即时训练2-1:已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数 f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数f(x)的单调区间;解:因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3(x≥0)且y=x-1(x<0), 所以函数图象如图所示, 因此函数值域为{y|y≤3}. 题型三 二次函数的最值 [例3] 已知f(x)=x2-4x+3,求函数f(x)在下列区间上的值域. (1)[-1,1];解:因为f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 所以函数f(x)在(-∞,2]上是减函数, 在[2,+∞)上是增函数. (1)因为x∈[-1,1], 所以f(x)在[-1,1]上是减函数, 又f(-1)=8,f(1)=0, 所以函数f(x)在[-1,1]上的值域为[0,8].(2)[-2,3]; 解:(2)因为x∈[-2,3],且f(x)的对称轴方程是x=2, 所以当x∈[-2,2]时,函数f(x)是减函数, 此时函数的值域为{y|f(2)≤y≤f(-2)}, 即{y|-1≤y≤15}. 当x∈[2,3]时,函数f(x)是增函数, 此时函数的值域为{y|f(2)≤y≤f(3)}, 即{y|-1≤y≤0}. 所以x∈[-2,3]时,函数的值域为{y|-1≤y≤15}.(3)[0,a].解:(3)因为f(x)的对称轴方程是x=2, 所以当a≤2时,函数f(x)在[0,a]上是减函数, 此时函数的值域为{y|f(a)≤y≤f(0)}, 即[a2-4a+3,3], 当2
