2.1 指数函数 名师导航 知识梳理 一、指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地,如果_____,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1,且n∈N*. 当n是奇数时,正数的n次方根是一个_____,负数的n次方根是一个_____.此时,a的n次方根用符号_____表示.式子_____叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent),a叫做被开方数(radicand).当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为_____.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号_____表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成±(a>0).由此可得:负数没有_____次方根;0的任何次方根都是_____,记作=0. 结论:当n是奇数时,=_____; 当n是偶数时, =_____. 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定: =_____(a>0,m、n∈N*,n>1), =_____(a>0,m、n∈N*,n>1). 0的正分数指数幂_____,0的负分数指数幂_____;规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)aras=_____ (a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=_____ (a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=_____ (a>0,b>0,r∈Q). 4.无理指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数及其性质 1.指数函数的定义 函数_____(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定,是为了保证定义域为实数集,且具有单调性. 2.指数函数的图象和性质 填写下表: a>1 0
0,且a≠1的原因 剖析:(1)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义. (2)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x,这时对于x=,x=,…等等,在实数范围内函数值不存在. (3)若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,是一个常量,没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.在规定以后,对于任何x∈R,ax都有意义,且ax>0.因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞). 3.指数函数的判断 剖析:指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a-x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1. 
