1.1.1 集合的含义与表示 备课资料 1.无限集 在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架.他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地.这个学科就叫做集合论.它的概念和方法已经有效地渗透到所有的现代数学.尽管我们生存的世界是有限的，但是，为了研究它，我们却总是要涉及无限，所有自然数的集合就是一个无限集，圆周率的精确值表示需要无限多位小数，等等.对于无限集，可以得到一些意想不到的结论.例如，设集合A是所有正整数的集合，集合B是所有正偶数的集合.直观地，B中的元素个数恰好是A中元素个数的一半.但是，根据集合论的观点，它们的个数是一样的.这可以用“配对”的方法来验证： 这里没有矛盾，如果有的话，也只是出于我们的成见.对此的阐释最好莫过于“希尔伯特旅馆”，这个理想化的建筑物有无限多个房间，以所有正整数1，2，3……来编号.一天晚上，碰巧所有房间都住满了（在这个故事中人数也是无限多）.这时新来了一个客人，正在老板无法安置的时候，一个聪明的服务员想出了一个办法，她提出将1号房的客人安排到2号房，2号房的客人安排到3号房，3号房的客人安排到4号房，由此类推……这样就腾出了1号房供新客人使用.而且即使来了不止一个客人，也可以同样妥善安置，比如说来了新客人10个，她说：“只需将1号房的客人安排到11号房，2号房的客人安排到12号房，3号房的客人安排到13号房，由此类推……这样就腾出了前十个空房供新客人使用.”这时，有人提出新的问题，如果后来的客人有无数人怎么办呢?这难不到我们的这位服务生，她提出将1号房的客人安排到2号房，2号房的客人安排到4号房，3号房的客人安排到6号房，由此类推……这样不就腾出了1号，3号，5号……无数个房间吗! 2.设a、b∈R，ab≠0，集合A={t|t=++}，则card（a）（card（a）表示有限集A的元素个数）的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.集合M=｛（x，y）|y=2x2+x+6，x∈R，x≠0｝，点P（x，y）∈M，则点Q（|x|，－y）是第几象限的点? 4.设集合P=｛x|x为有长为1的边及40°为内角的等腰三角形｝，试问P中有多少个元素? 5.设M=｛a|a=x2－y2，x，y∈Z｝，求证： （1）一切奇数属于M； （2）偶数4k－2（k∈Z）不属于M； （3）属于M的两个整数，其积仍属于M. 答案：2.B 3.四（点拨：y=2x2+x+6=2（x+）2+＞0，|x|＞0，－y＜0） 4.4（点拨：腰长为1且顶角为40°的三角形、腰长为1且底角为40°的三角形、底边长为1且顶角为40°的三角形及底边长为1且底角为40°的三角形） 5.（1）设a为任意的奇数，即a=2k－1（k∈Z）.因2k－1=k2－（k－1）2（k，k－1∈Z），故a∈M.由a的任意性知，一切奇数属于M. （2）假设4k－2∈M，则存在x、y∈Z，使4k－2=x2－y2（x+y）（x－y）=2（2k－1）. ① ①式说明x+y和x－y必有一个是偶数，另一个是奇数，但是x+y和x－y具有相同的奇偶性，这是一对矛盾.故①式不成立，所以4k－2M. （3）设α、β∈M，则α=x12－y12，β=x22－y22（x1、x2、y1、y2∈Z）. 进而αβ=（x12－y12）（x22－y22）=x12x22+y12y22－x12y22－x22y12=（x1x2－y1y2）2－（x1y2－x2y1）2. 而x1x2－y1y2∈Z，x1y2－x2y1∈Z，所以αβ∈M. ... ...
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