1.2.1 函数的概念 疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、函数 1.函数的定义 函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量. 函数的近代定义：一般地，设A、B都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域. 不难发现{f（x）|x∈A}B. 要点提示 注意此处空半格函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①定义域和对应法则是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应. 2.函数的三要素 （1）定义域 定义域是自变量x的取值范围，有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值范围， 例如：函数y=，由于没有指出它的定义域，则我们认为它的定义域是x≥-3且x≠0的实数.又如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x＞0而不是全体实数. 要点提示 注意此处空半格求函数的定义域，应考虑分式的分母不为零，根式有意义等，遇到实际问题还必须考虑自变量x所代表的具体量有实际意义. （2）对应法则 对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连结x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域｛y|y=f（x）且x∈A｝中唯一y与之对应.一般地，函数f（x）中，“f”可以用具体的文字来描述，如f（x）=x2，f表示为“求平方”；f（x）=2x+1，f表示为“乘2加1”.但有时，由于函数f（x）没有解析式，如教材实例（2）（3），我们就无法用文字写出它的对应法则，同一“f”，可以“操作”于不同形式的变量，如f（x）是对x进行操作，而f（x2）是对x2进行“操作”，f（3）是对3进行“操作”.由此可知，对应法则f可以用具体的文字来表述，也可以用图象或列表来表达. （3）值域 函数的值域是函数值的集合，应熟练掌握常见一次函数、二次函数及反比例函数的值域. 反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对应法则为f（x）=，值域为{y|y∈R且y≠0}.因此反比例函数y=（k≠0）可理解成对{x|x∈R且x≠0}中的任意一个自变量x，在{y| y∈R且y≠0}中都有唯一的实数y=(k≠0)和它对应. 记忆要诀 注意此处空半格函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限. 二、区间 区间是数学中常用的术语和符号，它是集合的一种表示形式.记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号表示及其含义.若数a、数b分别为闭区间和开区间的端点，那么在数轴上，a 用实心点表示，b用空心点表示. 区间的含义、名称、符号及几何表示如下表： 定 义 名 称 符 号 数轴表示 ｛x|a≤x≤b｝ 闭区间 ［a，b］ ｛x|a＜x＜b｝ 开区间 （a，b） ｛x|a≤x＜b} 半开半闭区间 ［a，b］ ｛x|a＜x≤b} 半开半闭区间 （a，b） ｛x|x≥a｝ ［a，+∞］ ｛x|x＞a｝ （a，+∞） ｛x|x≤a｝ （-∞，a） ｛x|x＜a} （-∞，a） R （-∞，+∞） 取遍数轴上所有值 区间表示数集或数的范围时，要注意开区间、闭区间、半开半闭区间端点的表示形式，要形成用区间表示函数的定义域和值域的习惯. 问题·思路·探究 问题1 高中阶段学习的函数的概念和初中学习的函数的概念有什么 ... ...
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