4．2 对数与对数函数 4．2.1 对数运算 考点 学习目标 核心素养 对数的概念 了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化 数学抽象、数学运算 对数的基本性质 理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值 数学运算 问题导学 预习教材P15－P18的内容，思考以下问题： 1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？ 2．什么是常用对数、自然对数？ 3．对数恒等式是什么？ 4．如何进行对数式和指数式的互化？ 1．对数的概念 (1)在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． (2)当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，由此可知，只有N>0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数． (3)loga1 ＝0；logaa＝1；alogaN＝N；logaab＝b． 2．常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N. (2)以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln____N． ■名师点拨 logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( ) (2)对数式log32与log23的意义一样．( ) (3)因为1a＝1，所以log11＝a.( ) (4)log(－2)(－2)＝1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 若log8x＝－，则x的值为( ) A. B．4 C．2 D. 解析：选A.因为log8x＝－， 所以x＝8－＝2－2＝，故选A. 2log23＝_____． 解析：由对数恒等式得，2log23＝3. 答案：3 若log3(log2x)＝0则x＝_____． 解析：因为log3(log2x)＝0，所以log2x＝30＝1，所以x＝2，即x＝. 答案： 对数的概念 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( ) A．b<2或b>5 B．20，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0. 求f(x)＝logx的定义域． 解：要使函数式f(x)有意义，需 解得00，b≠1)，则有( ) A．log2a＝b B．log2b＝a C．logba＝2 D．logb2＝a 解析：选C.logba＝2，故选C. 2．计算：(1)log927；(2)log81；(3)log625. 解：(1)设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，所以x＝. (2)设x＝log81，则()x＝81，3＝34，所以x＝16. (3)令x＝log625，则()x＝625，5x＝54，所以x＝3. 对数基本性质的应用 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1. 【解】 (1)因为log2(log5x)＝0. 所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，所以x＝103＝1 000. logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记． 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( ) A．9 B．8 C．7 D ... ...
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