第1讲 直线与圆 [2019考向导航] 考点扫描 三年考情 考向预测 2019 2018 2017 1．直线方程与两直线的位置关系 第12题 本讲命题热点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、圆的方程、直线与圆的位置关系(特别是弦长、切线问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，多考查其几何图形的性质或方程知识． 2．圆的方程 3．直线与圆的位置关系 第13题 1．必记的概念与定理 (1)直线方程的五种形式 ①点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． ②斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． ③两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． ④截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． ⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． (2)圆的方程的两种形式 ①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．记住几个常用的公式与结论 (1)点到直线的距离公式 点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝． (2)两条平行线间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． (3)若直线l1和l2有斜截式方程l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1． (4)设l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0．则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0． (5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是： ①B＝0；②A＝C≠0；③D2＋E2－4AF＞0． (6)常用到的圆的几个性质 ①直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； ②圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ③圆心在任一弦的中垂线上； ④两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； ⑤圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程． 3．需要关注的易错易混点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑． (2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错． 直线方程与两直线的位置关系 [典型例题] (1)(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若·＝0，则点A的横坐标为_____． (2)(2019·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为_____． 【解析】 (1)因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°．设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tan＝－3．又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3． (2)法一：由两条直线平行得－＝－且≠－，化简得a＝＞0，得b＞3，故2a＋3b＝＋3b＝＋3(b－3)＋9＝13＋＋3(b－3)≥13＋2＝25，当且仅当＝3(b－3)，即b＝5或b＝1(舍去)时等号成立，故(2a＋3b)min＝25． 法二：由两条直线平行得－＝－且≠－，化简得＋＝1，故2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝且＋＝1， 即a＝b＝5时等号成立，故(2a＋3b)min＝25． 【答案】 (1)3 (2)25 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．对于点斜式、截距式 ... ...
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