（江苏专用）2020版高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数高考热点追踪（一）学案文苏教版

高考热点追踪(一) 函数中的新定义问题用数学符号或文字叙述给出一个新定义，利用这个新定义和已学过的知识解决题目给出的问题，叫新定义题．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化． (2019·无锡市高三上学期期末考试)若函数f(x)在[m，n](m＜n)上的值域恰好是[m，n]，则称[m，n]为函数f(x)的一个“等值映射区间”．下列函数：①y＝x2－1；②y＝2＋log2x；③y＝2x－1；④y＝，其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有_____个． 【解析】　根据新定义可知，存在唯一一个“等值映射区间”的函数与另一函数y＝x的图象有两个交点，且在[m，n](m＜n)上的值域恰好为[m，n]，可见两函数在[m，n]上均单调递增． 对于①y＝x2－1，根据新定义可得，x2－1＝x，方程有两个解，即函数y＝x2－1与函数y＝x的图象有两个交点，但在同一增区间上只有一个交点，故①不满足题意； 对于②y＝2＋log2x，根据新定义可得，2＋log2 x＝x，方程有两个解，即函数y＝2＋log2x与函数y＝x的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故②满足题意； 对于③y＝2x－1，根据新定义可得，2x－1＝x，方程有两个解，即函数y＝2x－1与函数y＝x的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故③满足题意； 对于④y＝，根据新定义可得，x2－x＝1(x≠1)，方程有两个解，即函数y＝与函数y＝x的图象有两个交点，但y＝不单调递增，故④不满足题意．所以存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个． 【答案】　2 [名师点评]　创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解决． 不等式恒成立问题的解题策略 恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此类问题的常用方法． 一、反客为主———更换主元 有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果． 对任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒负，则x的取值范围为_____． 【解析】　 设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则有 即 解得0，所以不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0可转化为(x＋y－3)＋≥a．令t＝x＋y－3，t>0，则f(t)＝t＋≥a，且函数f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增． 等式x＋2y＋3＝xy可化为(x－2)(y－1)＝5，令m＝x－2，n＝y－1，则m>0，n>0，且mn＝5，则t＝m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n，即x＝y＋1，即x＝2＋，y＝1＋时等号成立，故f(t)≥f(2)＝2＋＝，所以a≤． 【答案】　(－∞，] [名师点评]　若对于x取值范围内的任何一个数都需要f(x)≥g(a)恒成立，则g(a)≤f(x)的最小值；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)≤g(a)恒成立，则g(a)≥f(x)的最大值．　 三、变量替换———避繁就简 根据所要求解的式子的结 ... ...