2020版高考数学（文科）二轮专题复习4.2　递推数列及数列求和的综合问题（34张PPT课件+练习）

第2讲　递推数列及数列求和的综合问题 考点1　由递推关系式求通项公式 (1)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式． (2)累积法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式． (3)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解． (4)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解． [例1]　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【解析】　(1)由题意得，当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式， 因此an＝＋1. (2)∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. 当n＝1时，a1＝1，上式也成立． ∴an＝. (3)∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 由数列递推式求通项公式的常用方法 『对接训练』 1．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝. 解析：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. (2)∵＝2n， ∴＝21，＝22，…，＝2n－1， 将这n－1个等式叠乘， 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2， ∴an＝2. (3)∵an＋1＝， 取倒数得：＝＝＋， ∴－＝， ∵a1＝1，∴＝1， ∴是以1为首项，为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)·＝， ∴an＝. 考点2　错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． [例2]　[2019·天津卷]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)． 【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 依题意，得解得或(舍) 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n. 所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n) ＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，① 则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，② ②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1 ＝－＋n×3n＋1＝. 所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*). 所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证. 『对接训练』 2．[2019·山东青岛一模]已知公比为q的等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求q的值； (2)若bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q， 依题意，有 即 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1. 代入②知q＝1不成立，故舍去，所以q＝2. (2)由(1)知a1＝2，所以an＝2n， bn＝anlog2an＝2nlog22n＝n·2n， 所以Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 所以2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1 ... ...