课件57张PPT。第2讲 立体几何中的空间角问题高考定位 以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.(2019·浙江卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.真 题 感 悟法一 (1)证明 如图①，连接A1E. ① 因为A1A＝A1C，E是AC的中点， 所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， 所以A1E⊥平面ABC， 又BC?平面ABC， 则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F. 又A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F?平面A1EF， 所以BC⊥平面A1EF. 又EF?平面A1EF，因此EF⊥BC. (2)解 如图①，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形. 由于A1E⊥平面ABC，EG?平面ABC，故A1E⊥EG， 所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1，又BC?平面EGFA， 则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于点O， 则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角). 法二 (1)证明 连接A1E. ② 因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC， 所以A1E⊥平面ABC. 如图②，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 E－xyz. 1.求异面直线所成角的方法 方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.考 点 整 合3.求二面角的方法 方法一：几何法.用几何法求二面角α－l－β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定. 图1 图2 探究提高 求异面直线所成的角，可以应用向量法，也可以应用异面直线的定义求解.【训练1】 (1)(2019·浙江卷)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则( ) A.β<γ，α<γ B.β<α，β<γ C.β<α，γ<α D.α<β，γ<β 以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，热点二 求线面角 【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)证明：AB1⊥平面A1B1C1； (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. (2)解 如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD. 由AB1⊥平面A1B1C1，AB1?平面ABB1，得 平面A1B1C1⊥平面ABB1， 由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1， 所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由题意知各点坐标如下：(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.探究提高 (1)传统法解决线面角问题的关键是先找出线面所成的角，再在三角形中解此角.(2)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式 ... ...
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