广深珠三校2020届高三第一次联考 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B B A D D A D C D 12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】 由得， 当时，方程不成立，即， 则， 设（且）， 则， ∵且，∴由得， 当时，，函数为增函数， 当且时，，函数为减函数， 则当时函数取得极小值，极小值为， 当时，，且单调递减，作出函数的图象如图： 故：要使有两个不同的根，则即可， 即实数的取值范围是. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13． 19 ； 14． 15 ； 15．； 16．； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 如图，在中，角所对的边分别为，； （1）证明：为等腰三角形； （2）若为边上的点，，且，，求的值． 【详解】（1），由正弦定理得： ………..2分 由余弦定理得：； ………..4分 化简得：, 所以即， ………..5分 故为等腰三角形． ………..6分 （2）如图， 由已知得，， ， ， ………..8分 又， ， ………..10分 即， 得，由（1）可知，得． ………..12分 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）设的中点为，连接， 为的中点，所以为的中位线， 则可得，且； ………..2分 在梯形中，，且， ， 所以四边形是平行四边形， ………..4分 ，又平面，平面， 平面． ………..6分 法二：设为的中点，连接， 为的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 平面， ………..2分 又在梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， ………..4分 又， 所以平面平面， 又平面， 平面． ………..6分 （2）设的中点为，又． 因平面平面，交线为，平面， 平面， 又由，， ． 即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系． ………..7分 已知点， ……..8分 设平面的法向量为：． 则有 ，可得平面的一个法向量为， ， ………..10分 可得：， ………..11分 所以直线与平面所成角的正弦值为． ………..12分 19. （本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，且经过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（Ⅰ）由题意可得，，又a2﹣b2＝c2， ………..2分 解得a2＝4，b2＝1，． 所以，椭圆的方程为． ………..4分 （Ⅱ）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称， 设直线l的方程为x+my﹣＝0，与椭圆联立可得． 设A（x1，y1），B（x2，y2），假设在x轴上存在定点Q（t，0）． y1+ y 2＝，y 1 y 2＝． ………..6分 ∵PN与QN关于x轴对称，∴kAQ+kQB＝0， ………..7分 即?y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0， ?， ?， ??t＝． ………..9分 ∴在x轴上存在定点Q（，0）．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ………..10分 特别地，当直线l是x轴时，点Q（，0）．也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． …..11分 综上，在x轴上存在定点Q（，0）．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ………..12分 20．（本小题满分12分） 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合． 【详解】（1），所以切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为． --2分 （2）令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小 ... ...
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