（新教材）高中数学人教B版必修第二册 6.1.5　向量的线性运算（26张PPT课件+学案）

6.1.5　向量的线性运算 课标要求 素养要求 1.掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律. 2.理解向量线性运算的定义及运算法则. 3.能利用向量的线性运算解决简单问题. 通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养. 教材知识探究 如图M为△ABC的边AB的中点. 问题1　能用，表示吗？若能，请表示出来 . 问题2　若O为任意一点，M为AB的中点，是否有类似的结论？ 问题3　λ(a＋b)＝λa＋λb是否一定成立？ 提示1　＝(＋)＝＋. 提示2　＝(＋)＝＋. 提示3　一定成立. 1.向量的加法与数乘向量的混合运算 向量的减法可化成向量的加法，a－b＝a＋(－b) (1)运算规则 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法. (2)运算律 一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a. 一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb. 2.向量的线性运算　结果仍为向量 (1)定义 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. (2)运算法则　若遇到括号有两种处理方式 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项. 事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号. 教材拓展补遗 [微判断] 1.a－b可以看作a＋(－b).(√) 2.向量减法改写为向量加法后也满足加法的交换律、结合律.(√) 3.存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0.(×) 提示　向量线性运算的结果仍为向量，故不存在实数λ，μ，k，使λa＋μb＋kc＝0. [微训练] 1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析　∵＝3，∴＝＝(b－a)， ∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. 答案　D 2.4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A.a－2b B.a C.a－6b D.a－8b 解析　原式＝4a－4b－3a－3b－b ＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b. 答案　D [微思考] 1.M为线段AB的中点的充要条件是什么？ 提示　对任一点O，都有＝(＋). 2.对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b是否恒成立？ 提示　恒成立. 题型一　向量的线性运算 【例1】　化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]. 解　(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b； (2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. 规律方法　向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形. 【训练1】　若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝_____. 解析　－3＋(2b－a) ＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b ＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j ＝－16i＋j. 答案　－16i＋j 题型二　向量方程(组) 把所有项移到同一端时，另一端是0而不是0 【例2】　设x，y是未知向量，a，b为已知向量. (1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0； (2)解方程组 解　(1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0. 即8x＝－5a＋3b，则x＝－a＋b. (2)把第一个方程的左、右两边同乘以－2，然后与第二个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b. 代入原来第二个方程得x＝－a＋b. 即 规律方法　(1)本题型也属于用已知向量表示其它向量. (2)解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及数乘向量的运算律. 【训练2】　若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝_____. 解析　由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，所以y＝a－b＋c. 答案　a ... ...