（新教材）高中数学人教B版必修第二册 6.2.2　直线上向量的坐标及其运算（24张PPT课件+学案）

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 课标要求 素养要求 1.理解直线上向量的坐标的定义. 2.掌握直线上向量的运算与坐标的关系. 通过对直线上向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养；通过直线上向量坐标的运算，提升学生的数学运算素养. 教材知识探究 我们在必修第一册上已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2). 问题1　对应的向量坐标是多少？ 问题2　对应的向量坐标是多少？ 提示1　3. 提示2　－3. 1.直线上向量的坐标　0的坐标是零，单位向量e的坐标是1 (1)给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标.如果直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向.事实上，此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；而且：当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反. (2)直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如图所示，在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标. 如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x)，也称点A的坐标为x)，那么向量对应的坐标为x；反之，这一结论也成立. 2.直线上向量的运算与坐标的关系　坐标运算的结果是实数 (1)假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e.当a＝b时，有x1e＝x2e，由e是单位向量可知x1＝x2；反之，结论也成立. (2)因为a＋b＝x1e＋x2e＝(x1＋x2)e，所以a＋b的坐标是x1＋x2，a－b的坐标是x1－x2，ua＋vb的坐标是ux1＋vx2，ua－vb的坐标是ux1－vx2. (3)数轴上两点之间的距离公式与数轴上的中点坐标公式. 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝||＝|x2－x1|.x＝. 教材拓展补遗 [微判断] 　　　　　　　　　　　　　 1.向量总是由它的起点和终点的相对位置确定.(√) 2.在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.(√) 3.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.(√) 4.直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(√) [微训练] 1.下列叙述正确的是(　　) ①单位向量e的方向就是数轴的正方向 ②向量坐标的正负确定了向量的方向 ③直线上向量的坐标是一个实数 ④数轴上向量的坐标就是它的终点A的坐标 A.① B.②③ C.①④ D.①②③④ 解析　由直线上向量的坐标的定义知，①②③④都正确，故选D. 答案　D 2.数轴上，A(x)，B(2)，若||＝1，则x＝_____. 解析　由题意|x－2|＝1，即x－2＝±1，∴x＝3或x＝1. 答案　3或1 3.数轴上A(2)，B(x)，AB的中点M(－1)，则x＝_____. 解析　由题意得－1＝， ∴x＝－4. 答案　－4 [微思考] 直线上向量的起点都认为起点为原点O，则直线上的向量与直线上的点是一一对应吗？ 提示　一一对应. 题型一　直线上的向量坐标 【例1】　已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标： (1)a＝2e，b＝－3e；(2)a＝－e，b＝4e. 解　(1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e， ∴a的坐标为2，b的坐标为－3. (2)∵e的坐标为1，又a＝－e，b＝4e， ∴a的坐标为－，b的坐标为4. 规律方法　为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： (1)将向量用单位向量表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 【训练1】　如图所示，求出向量a，b的坐标. 解　因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2. 题型二　直线上向量坐标的线性运算 【例2】　已知 ... ...