5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) 学习目标 1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.2.能够利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题． 一、由图象求三角函数的解析式 例1 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． 解 方法一 逐一定参法 由图象知A＝3， T＝－＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点在函数图象上， ∴0＝3sin. ∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝. ∴y＝3sin. 方法二 待定系数法 由图象知A＝3.∵图象过点和， ∴解得 ∴y＝3sin. 方法三 图象变换法 由A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 反思感悟 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 跟踪训练1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M?，求f(x)的解析式． 解 由最低点M?，得A＝2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为， 故＝，即T＝π，ω＝＝＝2. 由点M?在图象上得 2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－(k∈Z)． 又φ∈， ∴φ＝.故f(x)＝2sin. 二、三角函数性质的综合问题 例2 (1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 答案 B 解析 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z. (2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A. B. C．0 D．－ 答案 B 解析 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝. 反思感悟 (1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 跟踪训练2 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M?对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值． 解 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)， 即函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ<π，∴φ＝. 由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，即ω＋＝kπ，k∈Z， 解得ω＝－，k∈Z. 又f(x)在上是单调函数， ∴T≥π， ... ...
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