沪科版数学八年级上册同步学案 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 要 点 讲 解 要点一 等腰三角形的判定 1. 有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”． 经典例题1 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 解析：(1)由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；(2)求出∠ABC＝∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形． 解：(1)①②；①③. (2)选①③证明如下： ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵∠EBO＝∠DCO，∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形． 要点二 等边三角形的判定 判定方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形． 判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形． 判定方法3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 经典例题2 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD. 求证：△DAE为等边三角形． 解析：由于BD＝CE，AB＝AC，因此可考虑证明△ABD≌△ACE，则可得AD＝AE.要说明△DAE为等边三角形，我们只需证明DE与AD或AE相等，或者证明△ADE中有一个角等于60°即可． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝120°. ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACD＝60°. ∴∠B＝∠ACE. 在△ABD和△ACE中，∵ ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE. ∴∠DAE＝∠BAC＝60°. ∴△DAE为等边三角形． 当 堂 检 测 1. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于( ) A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm 3. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 上述三种情况都有可能 4. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是( ) A. BM＋CN＝MN B. BM－CN＝MN C. CN－BM＝MN D. BM－CN＝2MN 5. 如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8cm，则△ABC是 三角形，BD的长为 cm. 第5题 第6题 6. 如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是 三角形. 7. 已知，如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线交于点F.试判断△ADF的形状，并说明理由. 8. 如图，△BCE，△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，BE＝AD，△CDE是等边三角形.求证：△ABC是等边三角形. 当堂检测参考答案 1. D 2. A 3. C 4. B 5. 等腰 4 6. 等边 7. 解：△ADF是等腰三角形.理由：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°.∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°.∴∠BDE＝∠F.∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠F.∴AF＝AD.∴△ADF是等腰三角形. 8. 证明：∵△CDE是等边三角形，∴EC＝DC，∠D＝60°.在Rt△BCE和Rt△ACD中，EC＝DC，BE＝AD，∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL)，∴BC＝AC，又∵∠ECD＝60°，∠ACD＝90°，∴∠ACE＝30°.又∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝90°－30°＝60°，∴△ABC是等边三角形. ... ...
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