15.4.1 角平分线的性质学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学八年级上册同步学案 第15章　轴对称图形与等腰三角形 15.4　角的平分线 第1课时　角平分线的性质 要 点 讲 解 要点一　用尺规作角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．作已知角的平分线的方法有很多，经常用到的是折叠法和尺规作图法，尺规作图一定要保留作图痕迹， 并且要写出结论． 经典例题1　如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规作一个∠γ，使得∠γ＝∠α－∠β.(只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法) 解：如图所示，∠BCD即为所求作的∠γ. 要点二　角平分线的性质 1. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 如图所示，角平分线性质定理的应用格式为： ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴PE＝PF.其条件中包含了“一个平分，两个垂直”，这些条件缺一不可． 2. 角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法. 3. 当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段． 经典例题2　在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若DC＝5，则D点到AB的距离是_____． 解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则线段DE的长就是D点到AB的距离．因为∠C＝90°，所以DC⊥AC.因为AD是∠BAC的平分线，所以DC＝DE.又因为DC＝5，所以DE＝5，即D点到AB的距离为5. 答案：5 易错易混警示　在条件不满足的情况下，误用角平分线定理 经典例题3　如图所示，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F.试说明BP平分∠ABC. 解析：过点P作PE⊥AC于点E，已知AP平分∠MAC，PD⊥BM，根据角平分线的性质定理可得PD＝PE，同理PE＝PF，则PD＝PF.再通过求证△BDP≌△BFP即可． 解：过点P作PE⊥AC于点E. ∵AP，CP分别是∠MAC，∠NCA的平分线，PD⊥AM，PE⊥AC，PF⊥BN， ∴PD＝PE，PE＝PF.(角平分线上的点到角两边的距离相等) ∴PD＝PF.(等量代换) 又∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴∠BDP＝∠BFP＝90°， 在Rt△BDP和Rt△BFP中， ∴Rt△BDP≌Rt△BFP， ∴∠DBP＝∠FBP，即BP平分∠ABC. 当 堂 检 测 1. 利用尺规作∠AOB的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P，作射线OP.此作法的依据是(　　) A. SAS B.ASA C. AAS D. SSS 第1题 第2题 2. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(　　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论不一定成立的是(　　) A. PA＝PB B. PO平分∠APB C. OA＝OB D. AB垂直平分OP 第3题 第4题 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是(　　) A. AD是∠BAC的平分线 B. ∠ADC＝60° C. 点D在AB的中垂线上 D. S△DAC∶S△ABD＝1∶3 5. 如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝4，则两平行线间的距离为 . 第5题 第6题 6. 如图，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C＝ . 7. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 . 8. 已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等. 9. 如图，BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N. 求证：PM＝PN. 当堂检测参考答案 1. D 2. A 3. D 4. D 5. 8 6. 30° 7. 4 8. 解： 如图，分别作∠A，∠B的平分线交于点P，则点P ... ...