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课件网) 4.2.3 直线与圆的方程的应用 外离 外切 相交 内切 内含 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用。 本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用。 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m） 解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 解得：b=-10.5，r2=14.52 x y 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 因为y>0,所以 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 如果不建立坐标系，能解决这个问题吗？ O P P2 C 如图，过P2做P2H⊥OP。 由已知，|OP|=4，|OA|=10. 设圆拱所在圆C的半径是r， 解得r=14.5。 所求支柱的长度约为3.86m。 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。 如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d)， 过四边形ABCD外接圆的圆心O’分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点。由中点坐标公式，得 所以 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建系，几何问题代数化； 第二步：解决代数问题； 第三步：还原结论。 用坐标方法解决几何问题时，用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过坐标方法解决平面几何问题；最后解释平面几何问题的几何含义。 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建系，几何问题代数化； 第二步：解决代数问题； 第三步：还原结论。 1.（2008 湖南）若过点A（4,0）的直线 l 与曲线 (x-2)2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） B. C. D. C 2.（2007 全国）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线 相切 求：圆O的方程。 【解析】依题意，圆O的半径r等于原点O到 直线 的距离，即 得圆O的方程 1. 圆x2+y2+2x+4-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有(??????)个。 A.1 ?? B.2??? C.3????? D.4 2. 圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为(??????) C C 直线L：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R) (1)证明:无论m取什么实数，L与圆恒交于两点。 (2)求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程。 解: (1)将L的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)=0 ∴直线L经过定点A(3,1) ∴点A在圆C的内部,故直线L与圆恒有两个交点。 (2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则L⊥AM,由 L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0。 1.由已知，圆C的圆心坐标为（3，0），半径长r=3，圆心到直线2x-y-2=0的距离是 直线2x-y-2=0被直线截得的弦长是 2.建立直角坐标系.|OP|=7.2m，|AB|=37.4m，即有 A（-18.7，0），B（18.7，0），C（0，7，2）。 于是有 解此方程组，得a=0，b=-20.7，r=27.9。 3.建立直角坐标系.有A（-10，0），B（10，0），P（0，4），D（-5，0），E（5，0）。 于是有 解此方程组，得a=0，b=-10.5，r=14.5。 将点D的横坐标-5代入上式，得y=3.1。 由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从船下经过。 解上述两方程联立成的方程组，得 所以点P的坐标是 直线PC的斜率 所以，AP⊥CP。 ... ...
