高二数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C D A C D D A A B D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解（Ⅰ） ……………………………………1分 ……………………………………2分 ……………………………………3分 所以 ……………………………………5分 （Ⅱ）． 令，得或 . ……………………………………7分 因为，所以， ；……………………………9分 时，． ……………………………………11分 故在区间上单调递增，在区间上单调递减；……12分 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明： 取中点，易知是边长为2的正方形.依题意，可以建立以为原点，分别以,,的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，,，，，,. ……………………………………1分 取中点,则,即 ……………………………………2分 又，可得， …………………………………………4分 又因为直线平面， ………………………………………5分 所以平面. …………………………………………6分 （Ⅱ）解：依题意，,,，……………7分 设为平面的法向量， 则 即 不妨令，可得，………………9分 因此有 .（公式1分，结果1分）………………11分 所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………………12分 18．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由，得 当时， ； ……………………………………1分 当时， ， ………………………………3分 经检验时也成立， 所以 ……………………………………4分 即， 记数列的公比为，则，所以 ………………………………5分 即 ……………………………………6分 （Ⅱ）设数列的前项和为， 由，，有， ………………………………7分 故， ， ……………8分 上述两式相减，得……9分 得. ……………………………………11分 所以，数列的前项和为 …………………12分 19．（本小题满分12分） 解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 可得，. ……………………………………3分 所以，椭圆的方程为. ……………………………………4分 （Ⅱ）由得． ……………………………………5分 记，则． 于是直线的斜率为，方程为．…………………………………7分 由得．① …………………8分 设，则和是方程①的解， 故 ，由此得 ． ……………………………………9分 从而直线的斜率为． …………………………………11分 所以，即点在以为直径的圆上.．…………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）， ……………………………………1分 当时，；当时，，…………………………3分 当变化时，的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 ………………………………4分 因此，当时，有极大值，并且极大值为.…………………5分 （Ⅱ）令函数，…………6分 由（Ⅰ）知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又 …………………………………8分 故在存在唯一零点.设为，则………………………9分 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.…………………11分 又 ，所以，当时，. 故. ……………………………………12分 ... ...
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