2020年上海市杨浦区高三高考数学一模试卷 一、填空题 1．函数的定义域为 ． 2．关于，的方程组的增广矩阵为 ． 3．己知函数的反函数，则 ． 4．设，为纯虚数为虚数单位），则 ． 5．己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为 ． 6．己知的二项展开式中的系数为280，则实数 ． 7．椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则 ． 8．己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 ． 9．在直角坐标平面中，，，动点在圆上，则的取值范围为 ． 10．己知六个函数：①；②；③；④；⑤；⑥，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有 种 11．己知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为 ． 12．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题： ①若为“类集”，则集合也是“类集”； ②若，都是“类集”，则集合也是“类集”； ③若，都是“类集”，则也是“类集”； ④若，都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”． 其中正确的命题有 （填所有正确命题的序号）． 二、选择题 13．己知实数，满足，则下列不等式中恒成立的是 A． B． C． D． 14．要得到函数的图象，只要将的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 15．设，为复数，则下列命题中一定成立的是 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 16．对于全集的子集，定义函数为的特征函数．设，为全集的子集，下列结论中错误的是 A．若， B． C． D． 三、解答题 17．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求证：、、、四点共面； （2）求异面直线与所成的角． 18．己知函数，其中为实常数． （1）若，解关于的方程； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 19．东西向的铁路上有两个道口、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西，且位于的南偏东方向，位于的正北方向，，处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东方向的处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为． （1）判断救护车通过道口是否会受火车影响，并说明理由； （2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，点是第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，． （1）若，求点的坐标； （2）若为等腰直角三角形，且，求点的坐标； （3）弦经过点，过弦上一点作直线的垂线，垂足为点，求证：“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”． 21．己知无穷数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有，，则称数列具有性质． （1）判断首项为1，公比为的无穷等比数列是否具有性质，并说明理由； （2）己知无穷数列具有性质，且任意相邻四项之和都相等，求证：； （3）己知，数列是等差数列，，若无穷数列具有性质，求的取值范围． 参考答案 一、填空题 1．函数的定义域为 ． 解：， 使函数有意义只要满足即可， 故函数的定义域为：； 故答案为： 2．关于，的方程组的增广矩阵为 ． 解：由增广矩阵的定义可知，关于，的方程组的增广矩阵为， 故答案为： 3．己知函数的反函数，则 ． 解：把代入反函数， 故， 故答案为：． 4．设，为纯虚数为虚数单位），则 2 ． 解：为纯虚数， ，解得． 故答案为：2． 5．己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为 ． 解：由圆锥侧面积公式，解得， 设母线与底面所成角为，则， ， 故答案为：． 6．己知的二项展开式中的系数为280，则实数 2 ． 解：二项式展开的通 ... ...
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